انتگرال عددی (انگلیسی: Numerical integration) یا ادغام عددی و یکپارچه سازی عددی در آنالیز عددی است، انتگرال گیری عددی به منزله یک خانواده گسترده ای از الگوریتم برای محاسبه ارزش عددی از یک انتگرال معین است. این اصطلاح همچنین گاهی اوقات مورد استفاده برای توصیف راه حل عددی معادلات دیفرانسیل می باشد. مشکل اساسی در یکپارچه سازی عددی، محاسبه برای یک راه حل تقریبی به یک انتگرال معین است.

در آنالیز عددی، قانون ذوزنقه راهی برای محاسبه تقریبی انتگرال معین است. قانون ذوزنقه از تقریب خطی استفاده می‌کند. همانطور که در شکل می‌بینید بدین صورت است که می‌توان نمودار تابع را با تقریب خطی به یک سری ذوزنقه تبدیل کرد و سپس با محاسبه مجموع مساحت های آن‌ها انتگرالتابع را به صورت حدی به دست آورد.

قاعده سیمپسون

هر سه نقطه‌ای از یک صفحه را که روی یک خط راست واقع نباشند می‌توان روی یک سهمی جای داد. قاعده سیمپسون بر پایه تقریب‌زدن خم‌ها با سهمی D به عوض ذوزنقه‌ها استوار است مساحت قسمت دلخواه از زیر سهمی با بکاربردن پیاپی فرمول زیر در سراسر خم پیوسته از x=a تا x=b برآوردی از بدست می‌دهد که معمولا برای یک اندازه گام مفروض h ، از T دقیق‌تر است:

بنابراین برای تقریب‌زدن توسط قاعده سیمپسون فرمول زیر را بکار می‌بریم:

توجه: n زوج است و می‌باشد.

مشتق ایدهٔ اصلی حساب دیفرانسیل، بخش اول آنالیز ریاضی است که نرخ لحظه‌ای (یا نقطه‌ای) تغییرات تابع را نشان می‌دهد. مشتق نیز، نظیر انتگرال، از مسئله‌ای در هندسه، یعنی یافتن خط مماس در یک نقطه از منحنی ناشی شده‌است.

مفهوم مشتق تا اوائل قرن ۱۷ میلادی، یعنی تا قبل از آنکه ریاضی‌دان فرانسوی، پییر دو فرما به تعیین اکسترمم‌های چند تابع خاص دست بزند، تنظیم نشده بود. فرما دریافت که خطوط مماس، در نقاطی که منحنی ماکزیمم یا مینیمم دارد، باید افقی باشد. از اینرو به نظرش رسید که مسئلهٔ تعیین نقاطاکسترمم تابع، به حل مسئلهٔ دیگر، یعنی یافتن مماس‌های افقی مربوط می‌شود، تلاش برای حل این مسئلهٔ کلی‌تر بود که فرما را به کشف برخی از ایده‌های مقدماتی مفهوم مشتق هدایت کرد.

در نگاه نخست اینطور به نظر می‌رسید که بین مسئلهٔ یافتن مساحت سطح زیر یک نمودار و موضوع تعیین خط مماس بر منحنی در یک نقطه رابطه‌ای وجود ندارد، اما اولین کسی که دریافت این دو مفهومِ به ظاهر دور از هم، در واقع ارتباط نسبتاً نزدیکی با هم دارند آیزاک بارو معلم آیزاک نیوتون بوده‌است.

اما مفهوم مشتق به شکل امروزی آن، نخستین بار در سال ۱۶۶۶ میلادی توسط نیوتون و به فاصلهٔ چند سال بعد از او، توسط گوتفرید لایب نیتس، مستقل از یکدیگر پدید آمد. این دو دانشمند در ادامهٔ کار خود، باز هم به طور مستقل، بخش دوم آنالیز ریاضی یعنی حساب انتگرال را عرضه کردند که اساس آن بر عمل انتگرال‌گیری قرار دارد.

فهرست مطالب:

مقدمه

مشتق گیری عددی

مثال

جدول تفاضلات f

مشتقات مراتب بالا

مثال

انتگرال گیری عددی

قاعده ذوزنقه ای

قاعده ذوزنقه ای مرکب

مثال

قضیه

نتیجه

قاعده سیمپسون

فرمول قاعده سیمپسون

مثال

خطای (S(h

مثال

قاعده نقطه میانی

مثال

خطای قاعده نقطه میانی

مثال

قاعده های دقیقتر

روش نیوتن-کوتز

روش ضرایب مجهول

روش گاوس

فرمول قاعده دو نقطه ای گاوس

مثال