نگاه اجمالی

در مکانیک آماری با سیستمهای بزرگ سر و کار داریم. یعنی سیستمهایی که در آنها تعداد ذرات زیاد است (N ≈ 1023). در چنین سیستمهایی به دنبال یافتن پاسخ صریح به سوالات زیر هستیم:

• سطوح انرژی قابل دسترس کدامند؟
• چگونه ذرات خود را در این سطوح توزیع می‌کنند؟
• اگر شرایط سیستم عوض شود (مثلا با تغییر دما) توزیع ذرات چگونه تغییر می‌کند؟
• با معلوم بودن تابع توزیع چگونه می‌توان کمیتهای تعریف کننده خواص گرمایی سیستم (مانند ظرفیت گرمایی) را بدست آورد؟

گر چه سیستمهای ماکروسکوپی (بزرگ) را مطالعه می‌کنیم، اما رفتار ذرات را بطور جداگانه بررسی می‌کنیم. یعنی دیدگاه میکروسکوپی بکار می‌بریم. در چنین برخوردی می‌دانیم که تعیین دقیق تاریخچه ذرات کاملا مشخص نیست. از اطلاعات قبلی می‌توان گفت که یک ذره تحت تأثیر نیروی معینی قرار می‌گیرد.

روشهای مطالعه سیستمهای چند ذره‌ای

در مورد دو ذره ، برهمکنش تعریف شده‌ای بین آنها برقرار است که می‌تواند هم بطور کلاسیک و هم به صورت کوانتومی مطالعه شود. برای یک سیستم سه ذره‌ای مطالعه دقیق ممکن نیست، زیرا تأثیر حضور ذره سوم در دو ذره دیگر به دقت قابل تعیین می‌باشد. با این صحبت به نظر می‌رسد که برای سیستمهای ماکروسکوپی ، ما با یک مشکل اساسی روبرو هستیم. عمدتا در مطالعه سیستمهای چند ذره‌ای دو روش مطرح می‌شود که عبارتند از:

• برهمکنش بین ذرات قابل اغماض است. (مکانیک آماری)
• مطالعه سیستمهایی که دارای برهمکنش می‌باشند (نظریه چند ذره‌ای).

دیدگاه مکانیک آماری

دیدگاه مکانیک آماری میکروسکوپی است. بدین معنی که در این دیدگاه تا حد امکان جزئیات ساختاری سیستمها منظور می‌شود. لذا به علت زیاد بودن تعداد ذرات صحبت به زبان احتمال خواهد بود. مثلا احتمال یافتن ذره در یک سطح انرژی یا تراز انرژی. بطور اصولی می‌توان ذرات را بطور جداگانه انتخاب نموده و صور مختلف آرایشهای آنها را در نظر گرفت. اما چون احتمال مربوط به اشکال مختلف آرایشها اختلاف چندانی ندارند، پس متوسط گیری در این مقوله زیاد بد نمی‌باشد.

ارتباط مکانیک آماری با ترمودینامیک

ترمودینامیک یک تئوری کلاسیک و قدیمی است. (علم حرکت و گرما Heat and motion). در این علم که دارای دیدگاه ماکروسکوپی است، کلیه سیستمها بدون توجه به ساختار اتمی و با انتصاب کمیات قابل اندازه گیری مثل حجم ، فشار ، آنتالپی ، انرژی داخلی ، دما و آنتروپی مطالعه می‌شود. ترمودینامیک مبتنی بر سه قانون بسیار مهم و البته تجربی است که به قوانین ترمودینامیک معروف هستند و در ترمودینامیک مورد بحث قرار می گیرند.

این علم قادر است روابط بی‌شماری بین کمیات مختلف مثل حجم و تعداد ذرات سیستم (V,N) یا کمیات مکانیکی مانند فشار و انرژی داخلی (U,P) و یا کمیات گرمایی مانند آنتروپی و دما (S,T) برقرار کند. به علاوه این علم قادر است ارتباط بین خواص مشخصه سیستمها ، مثل گرمای ویژه ، تراکم پذیری و تحرک الکترونها را ایجاد نماید. اما این درس نمی‌تواند مقادیر مطلق کمیات مذکور را تعیین کند و این وظیفه مکانیک آماری است که ، علاوه بر رفع این نقص و تأیید مجدد قوانین ترمودینامیکی ، می‌تواند دما را به انرژی ذرات اتصال دهد، تئوری جنبشی گازها Kinetic Theory of Gasses) و آنتروپی را در یک طریق بخصوصی به بی‌نظمی اتصال دهد. (معادله معروف بولتزمن)

چرا ترمودینامیک به مکانیک آماری منجر می‌شود؟

ترمودینامیک یک درس کلاسیک است و در موارد زیرین نقض می‌شود:

• در دماهای پایین: در این حالت خواص کلاسیکی سیستمها از بین رفته و پدیده‌های مشاهده شده ،کوانتومی هستند.
• چگالیهای بالا: به عنوان مثال می‌توان به ستارگان نوترونی اشاره کرد. در ستارگانی که جرم آنها اندکی بیشتر از جرم خورشید می‌باشد، ریزش ثقلی تولید جرمی با چگالیهای باور نکردنی می‌نماید. در چنین چگالیهایی ، هسته‌ها نیز می‌شکنند و به صورت مایع نوترونی در می‌آیند.

 

فهرست مطالب:

فصل اول: احتمال

رویداد ساده – رویداد مرکب – فضای نمونه

شمارش رویدادها

توزیع

تابع توزیع احتمال

میانگین

انحراف معیار

تقریب استرلینگ

ضرایب نامعین لاگرانژ

توزیع دوجمله ای

توزیع گاوسی

و…

فصل دوم: مفاهیم پایه

ماکروحالت ها

میانگین گیری روی ماکروحالتها

آمار تمییز پذیر: جایگزیدگی

تعادل

تعداد میکروحالتها

واگنی

شمارش حالتها

تعداد راههای توزیع ذرات تمییز ناپذیر در ترازهای یکسان

هنگرد

آنتروپی در هنگرد بندادی

ارتباط تعریف آنتروپی در هنگردهای میکروبندادی و بندادی

نوار کشسان مدل گشت تصادفی

و…

فصل سوم: تابع پارش

محتمل ترین توزیع

توزیع بولتزمن

تابع پارش بندادی

تابع پارش تک ذره ای

کمیتهای ترمودینامیکی بر حسب تابع پارش

محاسبه انرژی آزاد با کمک تعریف آنتروپی در هنگرد بندادی

تابع پارش با واگنی

تابع پارش دستگاه

پارامغناطیس حالتهای واگنی

تابع پارش پارامغناطیس

انرژی پارامغناطیس

ظرفیت گرمایی پارامغناطیس

و…

فصل چهارم: گاز کامل

حالت های یک ذره محبوس در یک جعبه

شرایط مرزی

شمارش حالت ها

تعداد حالت ها

تعداد میکروحالت های دستگاه

محاسبه ثابت بهنجارش

توابع ترمودینامیکی

انرژی درونی

آنتروپی

انرژی آزاد هلمهولتز

تابع پارش گاز کامل تک اتمی

حالت های یک چرخنده صلب

و…

فصل پنجم: نظریه جنبشی

فضای فاز

تابع پارش در فضای فاز

همپاری انرژی

مقدارهای میانگین

توزیع ماکسول – بولتزمن تندی ها

زمان برخورد

چسبندگی

ضریب چسبندگی گازهای رقیق

رسانش گرمایی

پخش

و…

فصل ششم: توزیع گیبس

پتانسیل شیمیایی

پتانسیل شیمیایی بر حسب انرژی آزاد

پتانسیل شیمیایی در گاز کامل

انرژی آزاد گیبس

شرایط تعادل

تعادل، آنتروپی و انرژی آزاد

پتانسیل ترمودینامیکی

واکنش های شیمیایی

ثابت تعادل

توزیع گیبس

آنتروپی دستگاه بزرگ

هنگرد بندادی بزرگ

و…

فصل هفتم: آمار بوز – انیشتین

بوزون ها و فرمیون ها

اصل طرد

آمار بوز – انیشتین

محاسبه تعداد فوتون ها

تابش جسم سیاه

شدت تابش

فونون ها

بسامد دبای

انرژی فونون ها

چگالی بوز – انیشتین

دمای بحرانی

و…

فصل هشتم: آمار فرمی – دیراک

توزیع فرمی – دیراک

ترازهای پر یا خالی

ظرفیت گرمایی گاز فرمی

حد دمای پایین

استخراج توزیع ذرات از تابع پارش

محاسبه تعداد کل ذرات

پتانسیل شیمیایی در دمای بالا

آنتروپی گاز فرمی

و…

فصل نهم: گذارهای فاز

مراتب گذار

فرومغناطیس

پارامتر نظم

تقریب میدان متوسط

مغناطش حود به خود

گذار فاز

مدل آیزینگ

و…