آشنايي با نامساويهاي ماتريسي خطي Linear Matrix Inequalities و کاربردهاي آن در مسائل کنترل

حجم فایل : 247.2 KB
نوع فایل : پاور پوینت
تعداد اسلاید ها : 34
بنام خدا 12-Mar-20 آشنايي با نامساويهاي ماتريسي خطي (Linear Matrix Inequalities) و کاربردهاي آن در مسائل کنترل 12-Mar-20 نامساوي ماتريسي خطي (LMI) چيست؟ در مسائل بهينه سازي معمولاً قيود نامساويهاي خطي هستند

در بعضي موارد اين قيود نا مساويهاي ماتريسي مي باشند

به دستة خاصي از اين نامساويهاي ماتريسي LMI گفته مي شود 12-Mar-20 3 تعريف نامساوي ماتريسی خطی (LMI)

يک نامساوي ماتريسی خطي به شکل زير بيان ميشود:

که در آن

با تعريف فوق
12-Mar-20 4 نکته :
هر نامساوي ماتريسي متقارن که بصورت affine به متغير خود وابسته باشد، قابل بيان بصورت نامساوي ماتريسي خطي است. 12-Mar-20 5 مثال:

12-Mar-20 6 چرا LMI؟ در تئوري کنترل به مسائلي بر مي خوريم که دستيابي به جواب منوط به حل يک نامساوي ماتريسي است و يا در بعضي مسائل بهينه سازي، قيود نامساويهاي ماتريسي هستند.
12-Mar-20 7 مثال 1 : پايداري سيستمهاي خطي سيستم خطي زير را در نظر ميگيريم:

تابع لياپانوف :

شرط پايداري :

12-Mar-20 8 مثال 2 : معادلة ريکاتي معادلات ريکاتي که بطور وسيعي در کنترل بهينه استفاده مي شوند يک نامساوي ماتريسي است. نمايش آن بصورت رابطة زير است:

که در آن ماتريسهاي Aو B معلوم و P=PT>0 ، R=RT>0 و Q=QT>0 مجهول هستند
12-Mar-20 9 مثال 3 : بيشترين مقدار تکين (Maximum Singular Value) بيشترين مقدار بهرة يک سيستم چند متغيره با بيشترين مقدار تکين آن نمايش داده ميشود.

بطور کلي اگر A(x) يک ماتريس باشد بزرگترين مقدار تکين آن بصورت نمايش داده ميشود.
12-Mar-20 10 مسألة کمينه سازي بيشترين مقدار تکين را در نظر مي گيريم:

از آنجا که

قيد اين مسألة بهينه سازي را مي توان بصورت زير نوشت:

12-Mar-20 11 در مثال 1 شرط پايداري لياپانوف يک LMI مي باشد

چون:
1-متقارن است
2-نسبت به درايه هاي P از درجة 1 است (affine)
12-Mar-20 12 ولي مثالهاي 2 و 3 LMI نيستند 12-Mar-20 13 شرط پايداري لياپانوف بعنوان اولين LMI در مهندسي کنترل شناخته مي شود. در دهة 40 قرن گذشته اين معيار وارد مسائل واقعي مهندسي کنترل شد و حل آن بصورت دستي و تنها براي مسائل کوچک انجام مي گرفت.
12-Mar-20 14 در دهة 60 تئوريهايي ارائه شد مبني بر اينکه دستة خاصي از نامساويهاي غيرخطي نظير معادلة ريکاتي قابل بيان بصورت LMI مي باشند.

لم معروف شر(Schur) اين دسته از نامساويهاي ماتريسي را معرفي مي کند. 12-Mar-20 15 نامساوي شر(Schur) مجموعه نامساويهای غير خطي به شکل

…